考研數學大數定律和中心極限定理題型解析

　　隨著2014年考研日期的日趨臨近，莘莘學子們正忙碌而緊張地進行著各考試科目的最后總復習，在各門考試科目中，數學作為一門公共科目，常常令一些考生感到頭疼、沒有把握，這一方面是因為數學本身的邏輯性、連貫性很強、公式多、計算量大，要學好它有一定難度，另一方面是因為某些考生以前對數學的重視程度不夠，基礎知識學得不夠扎實，所以面對即將到來的大考信心不足。為了幫助這些考生能順利通過考試，老師針對歷年考研數學的題型特點，進行深入解剖，分析提煉出各種題型及方法，供考生們參考。下面主要分析概率統計部分中的大數定律和中心極限定理的題型及解題方法。

　　題型：概率統計中的大數定律和中心極限定理的題型及解題方法

　　概率統計中的大數定律和中心極限定理的題型，在考研數學（一）和（三）的歷年考試中出現的頻率雖然不高，但仍在考試大綱范圍之內，考試中仍有可能出現這種題型，因此，考生們對這種題型也應該有所了解，對基本題的解題方法應該掌握。

　　解答這種題型，首先要理解考試大綱中要求的3個大數定律和兩個中心極限定理。下面我們簡述一下這幾個定理。

　　切比雪夫大數定律：設隨機變量X1,X2,…相互獨立，E(Xi)=μi，{D(Xi)，i=1,2,…}有界，則ε>0，

　　辛欽大數定律：設隨機變量X1,X2,…相互獨立且服從同一分布，E(Xi)=μ，i=1,2,…，則ε>0，

　　伯努利大數定律：設在n次獨立重復試驗中事件A發生的次數為fA,P(A)=p，則

　　獨立同分布的中心極限定理：設隨機變量X1,X2,…相互獨立且服從同一分布，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2>0，i=1,2,…，則的標準化隨機變量依分布收斂于標準正態分布，即。

　　棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理：設隨機變量～B(n,p)(n=1,2,…)，0<p<1，則的標準化隨機變量依分布收斂于標準正態分布。

　　與大數定律相關的還有切比雪夫不等式：

　　例1.設總體X服從參數為2的指數分布，X1,X2,…,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，則當n→∞時，依概率收斂于＿＿＿

　　（2003年考研數學三真題第一（6）題）

　　解析：因為X1,X2,…,Xn獨立同分布，所以X12,X22,…,Xn2也獨立同分布，由辛欽大數定律知依概率收斂于E(X2)=D(X)+E2(X)=，故正確答案是

　　例2.生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用最大載重為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保證不超載的概率大于0.977 ? （Φ(2)=0.977，其中Φ(x)是標準正態分布函數）

　　（2001年考研數學三真題第十一題）

　　解：設Xi表示i箱的重量（千克），共n箱，由題設可知X1,X2,…,Xn獨立同分布，且E(Xi)=50，D(Xi)=52=25，由中心極限定理得P= ，故最多可以裝98箱。

　　例3.設隨機變量 X,Y的數學期望分別為－2和2，方差分別為1和4，而相關系數為－0.5，則根據切比雪夫不等式P{|X+Y|≥6}≤＿＿

　　（2001年考研數學三真題第一(4)題）

　　解析：使用切比雪夫不等式時需要知道X+Y的期望和方差。令Z=X+Y，則E(Z)=E(X)+E(Y)=－2+2=0，Cov(X,Y)=，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=1+4-2=3，于是P{|X+Y|≥6}=P{|Z-E(Z)|≥6}

　　上面就是考研數學中概率統計部分的大數定律和中心極限定理的題型及解題方法，供考生們參考借鑒。在以后的時間里，老師還會陸續向考生們介紹其它考研數學題型及解題方法，希望各位考生留意查看。最后預祝各位考生在2014考研中取得佳績。